Integrando con Paco - Integral Definida

¡Hola Paco! ¿Cómo te fue con los ejercicios de la sesión pasada?

P. Bien y mal profe!

Debe ser regular. Bien y mal es como decir falso y verdadero y…

P. No empiece profe con su lógica, la verdad es que no pude con unos ejercicios de cálculo de áreas por sumas de Riemann, me refiero al 3.2 y al 3.4 de los ejercicios sobre áreas bajo una curva, los resultados que me daban no coincidían con los que calculé empleando el teorema de Barrow

Dime cómo trabajaste el 3.2

P. Así profe

El área a calcular estaba limitada por f(x)=5x-4, el intervalo [1, 3] y el eje x. Primero calculé delta x que es igual a 2/n ¿Correcto?

Correcto Paco. Continúa

Espera Paco. Por qué dices que f(x_i) = (2i/n)?

P. Porque así lo hicimos con el ejemplo de esa sesión

Humm… Qué resultado obtuviste?

P. Pues al simplificar y evaluar el límite, el resultado fue 2

Y por Barrow?

P. Bueno, ese es más fácil. Lo desarrollé así:

¡Mal y bien Paco!

P. Donde quedó su lógica profe? Diría más bien, regular

Tienes razón ¡una buena y otra mala! Esa debería ser la expresión. La integral por el teorema de Barrow. Muy bien

Mal por lo realizado con la sumatoria de Riemann. Te explico porque:

En el ejemplo que desarrollamos, el área estaba limitada por x=0, es decir, el límite inferior era 0. Supongamos que para la función que acabas de analizar, el intervalo que limita la gráfica es [0, 3]. Esta nueva situación se representa en la siguiente figura.

Observa que hemos empleado 10 rectángulos. Las 10 abscisas correspondientes a f(1), f(2), f(3), … f(i),… f(n) son:

El mismo que tú empleaste ¿Dónde está la diferencia Paco?

P. En el límite inferior ¡Que trampa profe! En el ejercicio 3.2 el límite ya no es cero.

No es trampa Paco. Esto te enseña dos cosas: no se debe generalizar y menos “tragar entero”. Veamos que ocurre con un límite diferente de cero. Para el caso nuestro con el intervalo [1, 3]

Observa la gráfica para ese caso:

A qué es igual x₁?

P. Claro profe, ahí estaba el problema, debí sumar uno.

Así es Paco. Veamos ahora la solución a tu ejercicio

Satisfecho Paco?

P. No tanto por la solución profe, sino por las dos observaciones. Trataré de no seguir “tragando entero” y de no generalizar con un solo ejemplo

¡”Excelente Paco! Si necesitas más claridad observa la siguiente gráfica que representa f(x) = x² en el intervalo [1, 2]. Puedes ver claramente las coordenadas de los puntos señalados para el tercer rectángulo

Hasta la próxima

2.3 Teorema fundamental del Cálculo

Antes de iniciar con el teorema, observa el siguiente video en el cual se te explicará cómo descargar e instalar el software de cálculo simbólico llamado Maxima

Que tal Paco! ¿Cómo te fue con los ejercicios anteriores?

P. Bien profe. Sin embargo tuve que hacer algún esfuerzo para evaluar lo límites… una que otra transformación algebraica.

Bien Paco. A propósito de estos límites, la sumatoria que aparece en la expresión

se conoce como suma de Riemann, en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición original incluía subintervalos de distinta longitud (delta de x en i), es decir:

Lo anterior nos sirve para enunciar el siguiente teorema:

Teorema 9

Si f está definida en el intervalo [a, b] y el límite de la suma de Riemann de f existe, entonces f es integrable en [a, b] y dicho límite se denota así:

Este límite se conoce como la integral definida de f

P. Ahora veo donde estaba la bendita integral. Pero profe… este límite es diferente al que veníamos trabajando.

Es cierto Paco. Riemann, en forma general, escogía subintervalos en c_i. Nosotros lo hicimos para subintervalos constantes (delta de x) porque la función f (x) era positiva, continua y creciente. Sin embargo en funciones como x³ + x² -5x:

La función es positiva y negativa en el intervalo [-2, 1]. En este caso es conveniente dividir el intervalo en dos subintervalos [-2, 0] y [0, 1]. El valor de esta integral es 6.75, la figura muestra 6.76 porque elegí un delta de x igual a 0.003 (n=1000).

En GeoGebra puedes calcular esta integral así: integral[x^3+x^2-5*x,-2,1]; en Maxima: integrate(x^3+x^2-5*x, x, -2, 1) y en MatLab: syms x; INT(x^3+x^2-5*x,-2,1)

P. Vaya, la cosa se complica! No quiero imaginarme un ejemplo con la función seno.

No te predispongas Paco. Un profesor de Newton nos ayudará a calcular estas integrales en forma más inmediata. Isaac Barrow, profesor de matemáticas en la Universidad de Cambridge hasta 1669, enunció el siguiente teorema:

Teorema 10. Teorema de Barrow o Teorema Fundamental del Cálculo

Si f está definida en el intervalo [a, b] y el límite de la suma de Riemann de f existe y si F es una primitiva de f en [a, b], entonces:

P. Y dónde quedó la constante profe?

Interesante observación Paco. En el teorema 9, la integral definida dice que es igual a qué?

P. Al límite de la suma de Riemann

Correcto! Y ese límite qué resultado dio en el ejemplo anterior?

P. Un número profe: 6.75

Eh ahí la diferencia Paco. Las integrales indefinidas nos permitían hallar la función origen, por contraste, la integral definida nos permite hallar el valor de la integral en un intervalo dado.

P. Déjeme pensar profe… Eso quiere decir que el teorema de Barrow me dice que debo hallar la primitiva y luego calcular un valor que es F(b) – F(a) y así hallo el valor de la integral?

Tu lo has dicho Paco. Con ese razonamiento , calcula la integral del ejemplo anterior

P. Ok!

Casi Paco, casi.

P. Pero me dio la respuesta profe. Cómo que casi?

Tu problema no es de respuesta. Tu problema es de conceptos. Me explico:

Es falsa la primera y última expresión que escribiste. Recuerda que F(x) es una función (la primitiva), la cual denominamos en la sección anterior Integral indefinida, por el contrario F(b) – F(a) es un número, que hemos denominado Integral definida. Observa como se resuelve esta integral:

Comprendo que esto es nuevo para ti, pero debiste haber preguntado. La expresión de la derecha significa que la integral a resolver es igual a la primitiva (sin constante) evaluada entre -2 y 1.

Sigamos con nuestra solución:

P. Entiendo profe. Mi problema en realidad no es de conceptos, créame que le he entendido. Tengo problemas es de escritura matemática. Seré más cuidadoso con lo que escribo.

Demuestra lo que dices con estos ejercicios:

Ejercicios 7

Determina el valor exacto de la integral definida utilizando el teorema de Barrow

P. Profe, puedo aplicar los teoremas que vimos en integral indefinida?

Es correcto Paco. Hasta la próxima

Observa que el área está limitada por la curva de la función, las rectas x=a y x=b, y el eje x.

P. Profe, no existe una fórmula para calcular esa área? Así como la hay para un rectángulo o un círculo.


P. Fácil profe. Base por altura!

Volviendo a las figuras anteriores, ahora dime ¿qué observas Paco?

P. Bueno profe. Observo que está graficada la función f(x) = x² y unos rectángulos grandes y otros pequeñitos y…

Espera Paco. Veo que tengo que aclararte sobre estos rectángulos. En la siguiente figura he separado los rectángulos que aparecen superpuestos en las figuras anteriores.

Observa que en la figura de la izquierda los rectángulos inferiores están “inscritos” en la región comprendida entre x=0, x=3, f(x)=x² y el eje x. En contraste, la figura de la derecha presenta rectángulos superiores o “circunscritos”. En otras palabras, esos rectángulos pequeños que observaste es la diferencia entre los rectángulos superiores e inferiores ¿Qué conclusiones puedes sacar ahora?

P. Humm. Veo que a medida que hay más rectángulos la diferencia es menor. Para 1000 prácticamente es insignificante

Excelente Paco! Eso significa que podemos acercarnos al área de la región con rectángulos por debajo o con rectángulos por encima.

P. En otras palabras estamos volviendo al concepto de límite?

Así es. Ya tú lo dijiste… a medida que hay mayor número de rectángulos… Eso que significa en matemáticas?

P. Por eso hice la observación. Cuando n tiende a infinito, el área total de los rectángulos es el área de la región buscada. El área bajo la curva.

Vamos bien Paco. Entonces ya nuestro problema se ha reducido a encontrar el límite cuando n tiende a infinito de la suma de todos los rectángulos superiores o inferiores. Practica de nuevo con el applet.

Sigamos con nuestro análisis. Vamos a trabajar con los rectángulos superiores. Similar procedimiento se emplearía para los inferiores. Paco, piensa un poco y dime ¿Cómo calculamos el área de esos rectángulos?

P. Haber… El área de un rectángulo es base por altura y si son n rectángulos… humm… sería n por base por altura. Correcto profe?

En parte Paco, sólo en parte. Te voy a presentar otra ayuda. En la gráfica siguiente he representado uno de esos rectángulos, el rectángulo i, con una base que he denominado “delta de x” y una altura que es equivalente al valor de la función en xi. Es decir f(xi).

¿Cómo representaríamos el área de ese rectángulo?

P. Ya le dije profe, base por altura. Es decir…

Muy bien. ¿Y toda el Área?

P. Pues… La suma de todos los rectángulos… Claro, ahora entiendo lo de las sumatorias de la sesión anterior. Usted no da puntada si dedal profe. El área total sería…

Vamos muy bien Paco ¿Cuál sería el área bajo la curva?

P. Bueno. Por la figura parece que es menor al área total de los rectángulos.

Paco! Olvidaste el análisis de las figuras anteriores.

P. ¿Las figuras anteriores? Humm… Déjeme repasar… Que pena profe, tiene razón. Efectivamente el área bajo la curva es menor que la de los rectángulos. Además si n crece, las áreas tienden a ser iguales. ¿Voy bien?

Excelente. Escribe tus palabras en lenguaje matemático.

P. Huy profe! Deme una ayudita mientras repaso límites.

No es mucho lo que hay que repasar Paco. Concluiste que el área de los rectángulos tiende al área bajo la curva a medida que n tiende a ser grande. ¿Qué tipo de límite es ese?

P. ¿Al infinito?... Claro, entonces el área bajo la curva la puedo escribir así…

Que buen estudiante eres Paco. Otra pregunta. Según la figura anterior, ¿a qué es igual delta de x?

P. A la base del rectángulo. A qué más podría ser igual?

Oh no, Paco. Esa falta de concentración es la que te mata. Supongo que estás cansado, déjame darte el último empujón.

Observa que los rectángulos están sobre el segmento ab cuya longitud es |a-b|, este segmento fue dividido en…

P. Ya profe. En n segmentitos… cada uno de ellos es delta de x, es decir

Te corrijo Paco. La longitud debe ser siempre positiva, es decir

Y el área bajo la curva cómo quedaría!

P. Pues… reemplazamos y ya…

Ves que si podías Paco. Para terminar, y utilizando uno de los teoremas de sumatorias de la sesión anterior, tu expresión queda así:

Ahora vamos a un ejemplo

Ejemplo

Hallar el área de la región comprendida entre x=0, x=3, f(x)=x² y el eje x.

P. Que gracia profe. Esa región es la que usted dibujó en GeoGebra y, por las gráficas anteriores, el resultado es 9

Eso es cierto Paco, pero no siempre tendremos que ir a GeoGebra para hallar el área de una región. Vamos a comprender la utilidad de la expresión que juntos dedujimos. Observa la gráfica nuevamente:

¿Cuáles son los valores de a y b?

P. 0 y 3 profe.

Entonces

Ahora comprendes la importancia del valor absoluto? Por otra parte, los valores de Xi van desde 3/n hasta 3n/n, según los rectángulos escogidos, es decir Xi = 3i/n. Lo cual significa que la expresión anterior la podemos reescribir así:

Usa un teorema de sumatorias como recurso adicional!

P. Haber… Si ya lo encontré… es el teorema 6…reemplazando… nos queda

P. Ya profe. Al reemplazar n por infinito, el segundo término de cada paréntesis daría cero… entonces…

Genial profe. Pero prefiero a GeoGebra.

Tranquilo Paco. Esta es una forma de mostrar la utilidad de las sumatorias y de comprender el concepto de Integral desde una aplicación geométrica. Igualmente practicas un poco algunos conceptos anteriores.

P. ¿Integral? Pero si no la vimos por ningún lado

En la próxima sesión y luego de que realices algunos ejercicios más entenderás lo que he dicho.

Bueno, de acuerdo a lo anterior podemos concluir con esta definición

DEFINICIÓN 3

Sea f continua y no negativa en el intervalo [a, b]. El área de la región limitada por la gráfica de f, las rectas x = a y x =b y, el eje x es:

Donde ∆x = |b – a|/n

P. No que era con |a - b|?

Da igual Paco. Siempre que uses el valor absoluto, recuerda que se trata de una distancia entre dos puntos.

EJERCICIOS 6

Bueno Paco vamos a practicar un poco lo que hemos aprendido.

1. Utilizando los teoremas sobre sumatorias simplifica los siguientes límites de tal forma que puedas calcularlos fácilmente.

2. Calcula el área de las siguientes regiones usando sumas inferiores y superiores. observa el valor de n en cada gráfica y la función (f(x) = x^(0.5) y f(x) = 1/x)

3. Finalmente Paco, vas a usar la definición anterior para calcular el área de las regiones acotadas por la gráfica de la función, x = a, x = b y el eje x en cada uno de los siguientes casos. Los valores de a y b están definidos por el intervalo dado en cada caso y verificarás tus resultados con el applet.

3.1 y = 2x -1 en [0,2]

3.2 y = 5x – 4 en [1,3]

3.3 y = x² – 1 en [0,1]

3.4 y = 1 – x³ en [1,2]

Hasta pronto y mucho juicio