CAPÍTULO 2
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2.1 Notación sigma
Hola Paco! Ya es hora de adentrarnos en el maravilloso mundo de las integrales definidas.
P. Qué necesito para ello profe, es suficiente con los conceptos que trabajamos en integral indefinida?
En realidad Paco esos conceptos son necesarios pero no suficientes. Por ejemplo, qué sabes tú de sumatorias o de la notación sigma?
P. Bueno… En estadística vi algo al respecto, pero no sé si es suficiente para lo que vamos a trabajar ahora. Por lo que me dice, deduzco que las integrales definidas se calculan como sumatorias.
Eso es cierto pero no del todo. Supongo que te refieres a las sumatorias tradicionales, éstas nos servirán para comprender el concepto de integral definida. Iniciemos pues nuestra primera sesión.
Uno de los problemas que se puede solucionar con integrales definidas es el cálculo de áreas de regiones limitadas por curvas, es decir de regiones no convencionales como los polígonos regulares. Este problema lo abordaremos en la siguiente sesión, pero antes ilustrémonos con la notación sigma.
¿Qué puedes decir de la siguiente expresión 1 + 2 + 3 + 4 +5?
P. Es la suma de los primeros cinco números naturales
Correcto. La notación sigma es una forma de representar simbólicamente sumas como la de la expresión anterior. Para este caso se representa así:
P. Ahora entiendo porque en Excel aparece ese simbolito. Yo lo uso mucho para sumar los valores de una columna.
Muy bien Paco. Noto que estás entonado. Efectivamente, si en Excel escribes los números del 1 al 5 en una columna, puedes calcular “la sumatoria” de estos números con ese simbolito, es decir con la notación sigma. Ahora podrás entender la siguiente definición:
P. Parece complicado, pero en resumen lo que hago es reemplazar i por m, luego por m+1 y así hasta n?
Dicho en tus palabras… Así es. Veamos unos ejemplos
Qué resultado obtendrías si desarrollas esta sumatoria
Muy bien Paco. Lo has comprendido. En la definición anterior el número m se le conoce como el límite inferior y n el límite superior de la sumatoria. Tu cuestionado símbolo i recibe el nombre de índice de la sumatoria, el cual puede ser cualquier otra letra.
Ahora trata de calcular la siguiente sumatoria
Esperaba esa reacción Paco. Pero no te preocupes. Existen teoremas, sencillos de demostrar, que simplifican este tipo de operaciones. Basta que repases un poco tus conocimientos de sucesiones del bachillerato. Sin entrar en detalles y demostraciones, te presento algunos de esos teoremas:
P. Así si es muy fácil. Entonces para el ejercicio que me propuso puedo usar el teorema 6
Muy bien Paco. Ahora está en capacidad de resolver los siguientes ejercicios, puedes verificarlos en el computador.
P. ¿En el computador? Se refiere a Matlab o cualquier otro programa de algebra simbólica o a Excel?En Excel puedes verificar la mayoría. Claro, si sabes manejar bien el Excel. Sin embargo te voy a ilustrar cómo resolverías el segundo ejemplo en Matlab y en Maxima, y al final de esta sesión hallarás un applet diseñado con el nippe Descartes para verificar tus resultados.
Sumatorias en Matlab
Matlab propiamente no tiene una instrucción, comando o función que calcule directamente una sumatoria. Tienes que introducir un pequeño programa así:
P. Complicada la cosa profe
En realidad sí. Sin embargo con un poco de práctica puedes aprender a programar en Matlab, no sólo para sumatorias sino para una gran cantidad de aplicaciones en matemáticas y otras disciplinas.
Sumatorias en Maxima
Aquí es más simple, este software nos ofrece la función:
sum(exp, i, n, m)
Donde exp corresponde a la expresión de la sumatoria (k2 por ejemplo), i es el índice usado (k para nuestro caso) y n y m ya sabes que son los límites inferior y superior respectivamente
Nuestro ejemplo quedaría así
Observa que en la expresión 1 (%i1) calculamos el ejemplo. En la expresión 2 le indicamos al programa que el límite superior es n y nos presentó una solución en notación sigma. En la expresión 3 le ordenamos simplificar (simpsum) y nos dio el resultado en forma algebraica. Finalmente le dimos la orden de factorizar (factor) y nos presenta la expresión de nuestro teorema 6.P. Impresionante profe. Practicaré los ejercicios que me propone.
Puedes, sin embargo, usar un programa llamado Wiris en este vínculo
http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/
Adicionalmente, he diseñado el siguiente applet con el nippe Descartes para que verifiques tus resultados, con excepción del último ejercicio. Puedes cambiar los límites y la expresión usando siempre la variable i. Observa que las expresiones requieren de algunos operadores especiales como: * para multiplicar y ^ para los exponentes (Refresca tu navegador en caso de no aparecer el applet)
Hasta la próxima
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