¡Hola Paco! ¿Cómo te fue con los ejercicios de la sesión pasada?
P. Bien y mal profe!
Debe ser regular. Bien y mal es como decir falso y verdadero y…
P. No empiece profe con su lógica, la verdad es que no pude con unos ejercicios de cálculo de áreas por sumas de Riemann, me refiero al 3.2 y al 3.4 de los ejercicios sobre áreas bajo una curva, los resultados que me daban no coincidían con los que calculé empleando el teorema de Barrow
Dime cómo trabajaste el 3.2
P. Así profe
El área a calcular estaba limitada por f(x)=5x-4, el intervalo [1, 3] y el eje x. Primero calculé delta x que es igual a 2/n ¿Correcto?
Correcto Paco. Continúa
Espera Paco. Por qué dices que f(xi) = (2i/n)?
P. Porque así lo hicimos con el ejemplo de esa sesión
Humm… Qué resultado obtuviste?
P. Pues al simplificar y evaluar el límite, el resultado fue 2
Y por Barrow?
P. Bueno, ese es más fácil. Lo desarrollé así:
¡Mal y bien Paco!
P. Donde quedó su lógica profe? Diría más bien, regular
Tienes razón ¡una buena y otra mala! Esa debería ser la expresión. La integral por el teorema de Barrow. Muy bien
Mal por lo realizado con la sumatoria de Riemann. Te explico porque:
En el ejemplo que desarrollamos, el área estaba limitada por x=0, es decir, el límite inferior era 0. Supongamos que para la función que acabas de analizar, el intervalo que limita la gráfica es [0, 3]. Esta nueva situación se representa en la siguiente figura.
Observa que hemos empleado 10 rectángulos. Las 10 abscisas correspondientes a f(1), f(2), f(3), … f(i),… f(n) son:
El mismo que tú empleaste ¿Dónde está la diferencia Paco?
P. En el límite inferior ¡Que trampa profe! En el ejercicio 3.2 el límite ya no es cero.
No es trampa Paco. Esto te enseña dos cosas: no se debe generalizar y menos “tragar entero”. Veamos que ocurre con un límite diferente de cero. Para el caso nuestro con el intervalo [1, 3]
Observa la gráfica para ese caso:
A qué es igual x1?
P. Claro profe, ahí estaba el problema, debí sumar uno.
Así es Paco. Veamos ahora la solución a tu ejercicio
Satisfecho Paco?
P. No tanto por la solución profe, sino por las dos observaciones. Trataré de no seguir “tragando entero” y de no generalizar con un solo ejemplo
¡”Excelente Paco! Si necesitas más claridad observa la siguiente gráfica que representa f(x) = x2 en el intervalo [1, 2]. Puedes ver claramente las coordenadas de los puntos señalados para el tercer rectángulo
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