Integrando con Paco - Integral Definida

2.3 Teorema fundamental del Cálculo

Antes de iniciar con el teorema, observa el siguiente video en el cual se te explicará cómo descargar e instalar el software de cálculo simbólico llamado Maxima

Que tal Paco! ¿Cómo te fue con los ejercicios anteriores?

P. Bien profe. Sin embargo tuve que hacer algún esfuerzo para evaluar lo límites… una que otra transformación algebraica.

Bien Paco. A propósito de estos límites, la sumatoria que aparece en la expresión

se conoce como suma de Riemann, en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición original incluía subintervalos de distinta longitud (delta de x en i), es decir:

Lo anterior nos sirve para enunciar el siguiente teorema:

Teorema 9

Si f está definida en el intervalo [a, b] y el límite de la suma de Riemann de f existe, entonces f es integrable en [a, b] y dicho límite se denota así:

Este límite se conoce como la integral definida de f

P. Ahora veo donde estaba la bendita integral. Pero profe… este límite es diferente al que veníamos trabajando.

Es cierto Paco. Riemann, en forma general, escogía subintervalos en c_i. Nosotros lo hicimos para subintervalos constantes (delta de x) porque la función f (x) era positiva, continua y creciente. Sin embargo en funciones como x³ + x² -5x:

La función es positiva y negativa en el intervalo [-2, 1]. En este caso es conveniente dividir el intervalo en dos subintervalos [-2, 0] y [0, 1]. El valor de esta integral es 6.75, la figura muestra 6.76 porque elegí un delta de x igual a 0.003 (n=1000).

En GeoGebra puedes calcular esta integral así: integral[x^3+x^2-5*x,-2,1]; en Maxima: integrate(x^3+x^2-5*x, x, -2, 1) y en MatLab: syms x; INT(x^3+x^2-5*x,-2,1)

P. Vaya, la cosa se complica! No quiero imaginarme un ejemplo con la función seno.

No te predispongas Paco. Un profesor de Newton nos ayudará a calcular estas integrales en forma más inmediata. Isaac Barrow, profesor de matemáticas en la Universidad de Cambridge hasta 1669, enunció el siguiente teorema:

Teorema 10. Teorema de Barrow o Teorema Fundamental del Cálculo

Si f está definida en el intervalo [a, b] y el límite de la suma de Riemann de f existe y si F es una primitiva de f en [a, b], entonces:

P. Y dónde quedó la constante profe?

Interesante observación Paco. En el teorema 9, la integral definida dice que es igual a qué?

P. Al límite de la suma de Riemann

Correcto! Y ese límite qué resultado dio en el ejemplo anterior?

P. Un número profe: 6.75

Eh ahí la diferencia Paco. Las integrales indefinidas nos permitían hallar la función origen, por contraste, la integral definida nos permite hallar el valor de la integral en un intervalo dado.

P. Déjeme pensar profe… Eso quiere decir que el teorema de Barrow me dice que debo hallar la primitiva y luego calcular un valor que es F(b) – F(a) y así hallo el valor de la integral?

Tu lo has dicho Paco. Con ese razonamiento , calcula la integral del ejemplo anterior

P. Ok!

Casi Paco, casi.

P. Pero me dio la respuesta profe. Cómo que casi?

Tu problema no es de respuesta. Tu problema es de conceptos. Me explico:

Es falsa la primera y última expresión que escribiste. Recuerda que F(x) es una función (la primitiva), la cual denominamos en la sección anterior Integral indefinida, por el contrario F(b) – F(a) es un número, que hemos denominado Integral definida. Observa como se resuelve esta integral:

Comprendo que esto es nuevo para ti, pero debiste haber preguntado. La expresión de la derecha significa que la integral a resolver es igual a la primitiva (sin constante) evaluada entre -2 y 1.

Sigamos con nuestra solución:

P. Entiendo profe. Mi problema en realidad no es de conceptos, créame que le he entendido. Tengo problemas es de escritura matemática. Seré más cuidadoso con lo que escribo.

Demuestra lo que dices con estos ejercicios:

Ejercicios 7

Determina el valor exacto de la integral definida utilizando el teorema de Barrow

P. Profe, puedo aplicar los teoremas que vimos en integral indefinida?

Es correcto Paco. Hasta la próxima