Integrando con Paco - Integral Definida

Observa que el área está limitada por la curva de la función, las rectas x=a y x=b, y el eje x.

P. Profe, no existe una fórmula para calcular esa área? Así como la hay para un rectángulo o un círculo.


P. Fácil profe. Base por altura!

Volviendo a las figuras anteriores, ahora dime ¿qué observas Paco?

P. Bueno profe. Observo que está graficada la función f(x) = x² y unos rectángulos grandes y otros pequeñitos y…

Espera Paco. Veo que tengo que aclararte sobre estos rectángulos. En la siguiente figura he separado los rectángulos que aparecen superpuestos en las figuras anteriores.

Observa que en la figura de la izquierda los rectángulos inferiores están “inscritos” en la región comprendida entre x=0, x=3, f(x)=x² y el eje x. En contraste, la figura de la derecha presenta rectángulos superiores o “circunscritos”. En otras palabras, esos rectángulos pequeños que observaste es la diferencia entre los rectángulos superiores e inferiores ¿Qué conclusiones puedes sacar ahora?

P. Humm. Veo que a medida que hay más rectángulos la diferencia es menor. Para 1000 prácticamente es insignificante

Excelente Paco! Eso significa que podemos acercarnos al área de la región con rectángulos por debajo o con rectángulos por encima.

P. En otras palabras estamos volviendo al concepto de límite?

Así es. Ya tú lo dijiste… a medida que hay mayor número de rectángulos… Eso que significa en matemáticas?

P. Por eso hice la observación. Cuando n tiende a infinito, el área total de los rectángulos es el área de la región buscada. El área bajo la curva.

Vamos bien Paco. Entonces ya nuestro problema se ha reducido a encontrar el límite cuando n tiende a infinito de la suma de todos los rectángulos superiores o inferiores. Practica de nuevo con el applet.

Sigamos con nuestro análisis. Vamos a trabajar con los rectángulos superiores. Similar procedimiento se emplearía para los inferiores. Paco, piensa un poco y dime ¿Cómo calculamos el área de esos rectángulos?

P. Haber… El área de un rectángulo es base por altura y si son n rectángulos… humm… sería n por base por altura. Correcto profe?

En parte Paco, sólo en parte. Te voy a presentar otra ayuda. En la gráfica siguiente he representado uno de esos rectángulos, el rectángulo i, con una base que he denominado “delta de x” y una altura que es equivalente al valor de la función en xi. Es decir f(xi).

¿Cómo representaríamos el área de ese rectángulo?

P. Ya le dije profe, base por altura. Es decir…

Muy bien. ¿Y toda el Área?

P. Pues… La suma de todos los rectángulos… Claro, ahora entiendo lo de las sumatorias de la sesión anterior. Usted no da puntada si dedal profe. El área total sería…

Vamos muy bien Paco ¿Cuál sería el área bajo la curva?

P. Bueno. Por la figura parece que es menor al área total de los rectángulos.

Paco! Olvidaste el análisis de las figuras anteriores.

P. ¿Las figuras anteriores? Humm… Déjeme repasar… Que pena profe, tiene razón. Efectivamente el área bajo la curva es menor que la de los rectángulos. Además si n crece, las áreas tienden a ser iguales. ¿Voy bien?

Excelente. Escribe tus palabras en lenguaje matemático.

P. Huy profe! Deme una ayudita mientras repaso límites.

No es mucho lo que hay que repasar Paco. Concluiste que el área de los rectángulos tiende al área bajo la curva a medida que n tiende a ser grande. ¿Qué tipo de límite es ese?

P. ¿Al infinito?... Claro, entonces el área bajo la curva la puedo escribir así…

Que buen estudiante eres Paco. Otra pregunta. Según la figura anterior, ¿a qué es igual delta de x?

P. A la base del rectángulo. A qué más podría ser igual?

Oh no, Paco. Esa falta de concentración es la que te mata. Supongo que estás cansado, déjame darte el último empujón.

Observa que los rectángulos están sobre el segmento ab cuya longitud es |a-b|, este segmento fue dividido en…

P. Ya profe. En n segmentitos… cada uno de ellos es delta de x, es decir

Te corrijo Paco. La longitud debe ser siempre positiva, es decir

Y el área bajo la curva cómo quedaría!

P. Pues… reemplazamos y ya…

Ves que si podías Paco. Para terminar, y utilizando uno de los teoremas de sumatorias de la sesión anterior, tu expresión queda así:

Ahora vamos a un ejemplo

Ejemplo

Hallar el área de la región comprendida entre x=0, x=3, f(x)=x² y el eje x.

P. Que gracia profe. Esa región es la que usted dibujó en GeoGebra y, por las gráficas anteriores, el resultado es 9

Eso es cierto Paco, pero no siempre tendremos que ir a GeoGebra para hallar el área de una región. Vamos a comprender la utilidad de la expresión que juntos dedujimos. Observa la gráfica nuevamente:

¿Cuáles son los valores de a y b?

P. 0 y 3 profe.

Entonces

Ahora comprendes la importancia del valor absoluto? Por otra parte, los valores de Xi van desde 3/n hasta 3n/n, según los rectángulos escogidos, es decir Xi = 3i/n. Lo cual significa que la expresión anterior la podemos reescribir así:

Usa un teorema de sumatorias como recurso adicional!

P. Haber… Si ya lo encontré… es el teorema 6…reemplazando… nos queda

P. Ya profe. Al reemplazar n por infinito, el segundo término de cada paréntesis daría cero… entonces…

Genial profe. Pero prefiero a GeoGebra.

Tranquilo Paco. Esta es una forma de mostrar la utilidad de las sumatorias y de comprender el concepto de Integral desde una aplicación geométrica. Igualmente practicas un poco algunos conceptos anteriores.

P. ¿Integral? Pero si no la vimos por ningún lado

En la próxima sesión y luego de que realices algunos ejercicios más entenderás lo que he dicho.

Bueno, de acuerdo a lo anterior podemos concluir con esta definición

DEFINICIÓN 3

Sea f continua y no negativa en el intervalo [a, b]. El área de la región limitada por la gráfica de f, las rectas x = a y x =b y, el eje x es:

Donde ∆x = |b – a|/n

P. No que era con |a - b|?

Da igual Paco. Siempre que uses el valor absoluto, recuerda que se trata de una distancia entre dos puntos.

EJERCICIOS 6

Bueno Paco vamos a practicar un poco lo que hemos aprendido.

1. Utilizando los teoremas sobre sumatorias simplifica los siguientes límites de tal forma que puedas calcularlos fácilmente.

2. Calcula el área de las siguientes regiones usando sumas inferiores y superiores. observa el valor de n en cada gráfica y la función (f(x) = x^(0.5) y f(x) = 1/x)

3. Finalmente Paco, vas a usar la definición anterior para calcular el área de las regiones acotadas por la gráfica de la función, x = a, x = b y el eje x en cada uno de los siguientes casos. Los valores de a y b están definidos por el intervalo dado en cada caso y verificarás tus resultados con el applet.

3.1 y = 2x -1 en [0,2]

3.2 y = 5x – 4 en [1,3]

3.3 y = x² – 1 en [0,1]

3.4 y = 1 – x³ en [1,2]

Hasta pronto y mucho juicio